Тропик Интерполяции

2017-05-03 18:59:57 / author: admin views 243Total views: 243 / 3Views for 7 days: 3

Фрэнк Соттиль буенча

9 Октябрь 2004 Елның Көллияте Стейшн, Техас Штаты.

Мәкалә көз 2004 елның чыгару Эмиссара, бюллетене ИИГС. ArXiv.org/math/0501146.

Бу маддә барлыкка Эмиссара, бюллетене фәнни-тикшеренү клиник институтында оештырылган переведена берничә телләрне, шул исәптән румын теле (Александра Seremina берсе азофт), поляк (Ольга Бабенко), индонезия (Иордания Silaen @ ChameleonJohn.com), македон теле (Джим Anastasovski), Португалия Артур Вебер һәм Аделина Домингос.

Һәркемгә билгеле булганча, бу ике нокталары линиясен билгели, һәм күп кенә кешеләр, кем үзе геометрию, ә биш ноктасы на плоскости билгеләргә Коники. Кыскасы, әгәр сездә м случайных нокталары өчен плоскости, һәм сез телисезме узарга рациональных кривых дәрәҗә D аша барлык шуларның булырга мөмкин, бу проблеманы хәл итү интерполяции (әгәр м артык зур), яки бесконечное саны карарлары (әгәр м бик аз), яки конечное саны карарлары (әгәр M-тапкыр). Димәк, `бары хокукы" дигәнне аңлата M=3д-1 (м=2 өчен юллык һәм M=5 өчен Коники).

Катлаулырак мәсьәлә, әгәр M=3д-1, күпме рациональных кривых дәрәҗә D ка интерполировать нче тоташу ноктасына кадәр уза? Әйдәгез, шалтырата бу номер НД, димәк, N1=1 N2=1, чөнки линиясе һәм конические алдагы пункты булып тора уникаль. Күптән билгеле булганча, Н3=12, ә 1873 елның Цойтен [зэ] күрсәттеләр, дип N4=620. Нәкъ менә шунда обстояло эш, әлегә ун елга якын элек, Концевич һәм Манин [км] кулланыла ассоциативность бу квантовых когомологий бирү өчен, элегантный рекурсию моның өчен саны.

Тематику тикшеренүләр Кышкы семестре ИИГС 2004 елның Топологическим аспектлары вещественная Алгебраическая Геометрия включенными күчерү вещественная алгебраическая геометрия, тропик геометрия, реаль плоских кривых һәм куллану вещественная алгебраическая геометрия. Барлык сплетено воедино " разворачивающейся тарихында бу проблеманы интерполяции, прототипический бурычлар исчислительной геометрии, ул тора сәнгате санау геометрических фигура чыгып билгеләнә шартларын төшү. Монда тагын бер проблема: ничә юллык космоста очраша дүрт линия? Әлеге сорауга җавап табу өчен, шуны билгеләп үтәргә кирәк, өч линия тора бу уникально икеләтә-правит фильмнарын карый алачакбыз.

Tropical Interpolation

Өч линиясе тора бер хакимлек итүче, ә икенчесе правящая тора юллык, удовлетворяющих заданным өч строкам. Чөнки фильмнарын карый алачакбыз билгеләнә квадрат формада уравнение, дүртенче линия лык аның ике ноктасында. Аша һәр әлеге ике пункт бар амбар икенче номерлы карарында, һәм бу ике линия очрашу безнең дүрт линия.
Исчислительной геометрии яхшырак өстендә эшли комплексными саннар, чөнки саны реаль саннарга бәйле, шулай ук конфигурацию сыннар өчен шартлар тудыру төшү. Мәсәлән, дүртенче строке ала очрашырга гиперболоида ике очко, ягъни ике комплекслы сопряженные нче тоташу ноктасына кадәр уза, шулай итеп, бар, йә ике яки юк реаль линия барлык дүрт. Чыгып бик күп мисаллар, без хокуклы көтәргә, нинди дә булса проблемалар белән перечислением, бәлки, барысы да аны чишү булырга әлеге [шулай ук].

Тагын бер шундый проблема-ул 12 рациональные кривые интерполяции 8 нокталары өчен плоскости. Күбесе математиклар белән таныш тоташу (рациональное) куб показано на рисунке сулдан. Бар тагын бер тибы реаль рациональ куб, показано уңнан.

Tropical Interpolation

Икенче Кривой, ике комплекслы тармак конъюгат очрашырга изолированной почмагында. Әгәр без позволим. Н(Т) - саны реаль кривых тибындагы Т исәпкә алып, интерполяции 8 очко, ягъни Харламов һәм Дегтяров [МС] күрсәттеләр, дип белдерде

Tropical Interpolation

Менә тасвирламасы, аларның элементар топологических методларын.

Чөнки бар да артык 12 шундый кривых, Tropical Interpolation болай да, бар, 8, 10 яки 12 разумную кубики интерполяции 8 реаль нокталары өчен плоскости карап санын (0, 1, яисә 2) кубики белән изолированной почмагында. Шулай итеп, булачак 12 чын рациональ кубики интерполяции теләсә нинди 8 9 нокталары киселешле ике таш түбәнрәк.

Tropical Interpolation

Welschinger [Вт] булган ИИГС постдок узган кыш, эшләдек бу үрнәк теориясе. Кыскасы, үзенчәлекләрен реаль рациональ Кривой самолеты C-бу узеллар яки изолированные нче тоташу ноктасына кадәр уза. Четность санын үзәкләре булып тора, аның тамгасы белән(c), ул тора я 1, я -1. Әлеге 3D-1 реаль нче " плоскости, Welschinger булып санала, абсолют зурлыгы саны

БЕЛӘН(БЕЛӘН) ,
сумма барлык реаль рациональных кривых белән дәрәҗә D, дип интерполировать нче тоташу ноктасына кадәр уза. Ул күрсәткәнчә, бу взвешенная сумма түгел бәйле сайлап алу нокталары. Яз компаниясенә WD өчен бу инвариант Welschinger. Мәсәлән, без әле генә күргән, дип W3=8.
Бу иде прорыв кебек, БВ (диярлек) беренче чын-чынлап нетривиальный инвариант бу исчислительной вещественная алгебраическая геометрия. Игътибар итегез, WD-бу-түбән чиге өчен санының реаль рациональных кривых 3D-1 хакыйкый нокталары плоскости, WDлек НД.
Михалкин, кем иде оештыручы семестр шарты белән, ачкыч исәпләү WD файдаланып, тропик алгебраической геометрии [Ми]. Бу геометрия тропическое полукольцо, анда операция Max һәм + реаль саннар алмаштырырга гадиләре операциями + һәм умножения. Тропик многочлен булып тора линейной функцией кусочно формада

Т(x,Y) = Макс(мин,J) {x I + у J бу + сі,J} ,
анда исәпләү гадиләре белән арифметическими операциями һәм максималь килђдер өчен конечное подмножество һәм Z2 күрсәткечләрен дәрәҗәдәге Т ҺӘМ CI,J түгел, реаль саны коэффициентов, т. тропического многочлена Т билгели тропик Кривой хәл үзе күп нокта (x,Y), анда T(x,Y) дифференцируема. Менә кайбер тропические кривые.

Tropical Interpolation

Дәрәҗәсе тропик Кривой-бу саны лучей, стремящееся к бесконечности теләсә кайсы өч юнәлеш Көнбатышка таба, Көньяк, яки төньяк-көнчыгышка таба. Тропик кривая рациональна, әгәр ул кусочно-линейные төшүнең агач. Узеллар ия валентность 4.
Михалкин күрсәткәнчә, бар гына конечное саны рациональных тропик кривых дәрәҗә D белән интерполяцией 3д-1 уртак нокталары. Шул ук вакытта саны мондый кривых бәйле түгел сайлап алу нокталары, Михалкин добавленные уңай элементларын һәр тропик Кривой итеп взвешенная суммасы юк, ә чынлыкта равна НД. Ул шулай ук кими кратность һәм күчерүне тропик кривых к комбинаторике решетки юллары чикләрендә өчпочмак бокова длины D

Михалкин кулландык язышу катнашында картасы керү : (*) 2 --> Р2 билгеләнә (х,Г)|-->(лог|х|керегез|г|), һәм `зур комплекс пределе катлаулы структурасын бу (*) 2. Кысаларында әлеге зур комплексның лимитның, рациональных кривых дәрәҗә D белән интерполяцией 3д-1 нче (C*)2 деформации комплекс өчен тропик кривых таләпкә образлар астында бүрәнә-бу гадәти тропические кривые интерполяции сурәтләрне нокталары. Кратность тропик Кривой T-саны катлаулы тропик кривых торган проект. т.

Нәрсә турында реаль кривых? Следуя әлеге язышу, Михалкин добавленные реаль кратность һәр тропическую кривую һәм шуны күрсәтте, әгәр тропические кривые интерполяции исәпкә алып, 3D-1 балл Барлыгы реаль кратность N, ягъни 3D-1 реаль нче тоташу ноктасына кадәр уза торган интерполируются N вещественных рациональных кривых дәрәҗә D. Бу реаль кратность янә выражаться " терминах решетки юллары.

Турында инвариант Welschinger бу? Шул рәвешле, Михалкин добавленные имзаланган авырлыгы һәр тропик Кривой (тропик вариант билгесе Welschinger) һәм күрсәткәнчә, тиешле взвешенная суммасы равна инвариантной Welschinger буенча. Һәрвакыттагыча, бу тропик кул куйды авырлыкка мөмкин выражено бу терминах решеточных юлларын.

Ел дәвамында семестр бу ИИГС, Итенберг, Харламов, Шустин [Икс] файдаланылган нәтиҗәләре Михалкин бәяләү өчен инвариантной Welschinger буенча. Алар күрсәттеләр, дип WDэквалайзеров д!/3, шулай ук

журнал компаниясе WD = хисап НД + ТУРЫНДА(Д), хисап НД = 3д logd + Турында(Д) .
Шул рәвешле, һәрхәлдә, логарифмически, иң рациональных кривых дәрәҗә D белән интерполяцией 3д-1 реаль нче " плоскости реаль.
Бар ике башка очрак бу күренеш түбән чиге, беренчесе предшествует буенча эш Welschinger. Әгәр D хәтта булсын, W(х) реаль полиномом дәрәҗә K(Д-К+1). Аннан Еременко һәм Gabrielov [әйтик] күрсәттеләр, бар реаль многочленов Ф1(х),..., ФК(х) дәрәҗә, г таләпкә Вронского определитель Вт(ов). Чынлыкта, алар моны исбатладылар, түбән чиге ка саны K-кортежей многочленов, чыкканчыга кадәр эквивалентности. Аналогично, гәрчә ИИГС, Soprunova һәм мин [СС] исследуемых системаларын разреженных полиномов белән бәйле табигый тыюлыгы булып санала посетс күрсәтә саны реаль карарлар артмаска астан имзаларга-дисбаланс булуын искәртә посьете. Мондый түбән чикләренә күчерү өчен проблемаларны, ул күз алдында тота булу реаль карарлар мөһим өчен кушымталар.

Мәсәлән, бу тарихны сөйләде өчен кружкой сыра бер кичә остаханәсендә ИИГС буенча Геометрическому модельләштерү һәм вещественная Алгебраическая Геометрия 2004 елның апрелендә. Катнашучы, Schicho, аңладым, - дип нәтиҗә: В3=8 кубики дип аңлатты ни өчен метод, ул төзегән кебек һәрвакыт эшли. Бу иде алгоритм өчен вычисления приближенного параметризации дуги Кривой аша реаль рациональные интерполяционные кубические 8 нокталары өчен дугасындагы. Калды гына табарга шартлар гарантируют яшәешен хәл итү, аның шуңа якын к дугасындагы. Бу бик гади хәл ителгән ярдәмендә Фидлера-Ле Touzé, ИИГС постдок кем нәрсәгә укыган кубики (мәҗбүри түгел рациональное) интерполяции 8 очко өчен ярдәм итәргә классифицировать реаль плоских кривых дәрәҗә " 9.

Библиография

[DK] A. I. Degtyarev and V. M. Kharlamov, Topological properties of real algebraic varieties: Rokhlin's way, Uspekhi Mat. Nauk 55 (2000), no. 4(334), 129--212.
[EG] A. Eremenko and A. Gabrielov, Degrees of real Wronski maps, Discrete Comput. Geom. 28 (2002), no. 3, 331--347.
[IKS] I. Itenberg, V. Kharlamov, and E. Shustin, Logarithmic equivalence of Welschinger and Gromov-Witten invariants, arXiv:math.AG/0407188.
[KM] M. Kontsevich and Yu. Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys. 164 (1994), no. 3, 525--562.
[Mi] G. Mikhalkin, Enumerative tropical algebraic geometry in R2, arXiv:math.AG/0312530.
[SS] E. Soprunova and F. Sottile, Lower Bounds for Real Solutions to Sparse Polynomial Systems, arXiv:math.AG/0409504.
[So] F. Sottile, Enumerative real algebraic geometry, Algorithmic and quantitative real algebraic geometry (Piscataway, NJ, 2001), DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., vol. 60, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 139--179.
[W] J.-Y. Welschinger, Invariants of real rational symplectic 4-manifolds and lower bounds in real enumerative geometry, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 336 (2003), no. 4, 341--344.
[Ze] H. G. Zeuthen, Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver, Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, Naturvidenskabelig og Mathematisk, Afd. 10 Bd. IV (1873), 286--393.

Без әйтәсе килә рәхмәтемне безнең мөхәррире, Сильвио Леви һәм ИИГС катнашучыларның, аларда эш без опишем.
Ярдәмендә Милли фәнни Фонды грантлар карьерного үсеш ДМС-0134860 һәм ДМС-9810361 (финанслау ИИГС), һәм математика Институты Клэя.
Соңгы үзгәртү: Вс Апр 9 07:31:12 2017

Add a comment:
Sign in or login with: Facebook Google+ Twitter

See also

Сыйныф этикет һәм вежливость

Сыйныф этикет һәм вежливость

2017-04-16 12:42:09

Д.С. Смолярский буенча --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Җаваплылыктан баш тарту: содержимое әлеге чара кала, текст дословно дөрес берсе вузларның рәсми басмаларда, чагылдыра фикерләр өстенлек...

CAMCOS көз-2011 проекты: яңа модельләре темасы

CAMCOS көз-2011 проекты: яңа модельләре темасы

2017-04-18 22:06:52

Команда әгъзалары Рейчел Садок, Энни Ву, Дэмьен Адамс, Чинь Хуань К., Джоанна Спенсер, Нити Миттал, Юэ Венг. Аннотация Без эшләгән өчен алгоритм...

Башында тарих

Башында тарих

2017-04-18 22:42:48

Уэс Чепман Бертран Рассел өчен әзерләнгән "Ни өчен мин христианин түгел" сериясе,10 апрель, 1996 ел Рөхсәт итегез, миңа башта рәхмәт капеллан...

Бөер кимлек һәм ультрамарафоны

Бөер кимлек һәм ультрамарафоны

2017-04-30 21:26:58

Дон Дэвис буенча Дүрт көннән соң җиңү Сигейт 100 км Ультрамарафон " Толедо, Огайо штаты, мин бик госпитализирован 11 көн...


Useful: Make your own collection of cliparts